☆ Courbe paramétrée

Dans cet exercice, le plan est rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}~;\vec{i},\vec{j})\)  d'unité \(4\) cm.

On considère les fonctions \(x\)  et \(y\)  définies sur \(\mathbb{R}\)  par  \(x(t)=\sin(t)\) et \(\) \(y(t)=\sin(2t)\) .
On note  \(\Gamma\) l'ensemble des points \(\text{M}(t)\)  du plan de coordonnées \(\left(x(t)~;~y(t)\right)\) , où \(t\)  décrit \(\mathbb{R}\) .
\(\Gamma\)  est appelé courbe paramétrée du plan.

1. a. Montrer que, pour tout réel \(t\) , les points \(\text{M}(t+2\pi)\)  et \(\text{M}(t)\)  sont confondus.
    b. Montrer que, pour tout réel \(t\) , les points \(\text{M}(t+\pi)\)  et \(\text{M}(t)\)  sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
    c. Montrer que, pour tout réel \(t\) , les points \(\text{M}(-t)\)  et \(\text{M}(t)\)  sont symétriques par rapport à l'origine du repère.
    d. Expliquer pourquoi on peut limiter l'étude des fonctions \(x\)  et \(y\)  à l'intervalle \(\left[0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right]\) .

2. Étudier les variations des fonctions \(x\)  et \(y\)  sur l'intervalle \(\left[0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right]\) .

3. Soit \(t_0\)  un réel. On admet que si \((x'(t_0)\ ; y'(t_0)) \neq (0\ ;0)\)  alors \(\Gamma\)  admet en \(\text{M}(t_0)\)  une tangente dirigée par le vecteur de coordonnées \((x'(t_0)\ ;y'(t_0))\) . Déterminer un vecteur directeur de la tangente à \(\Gamma\)  aux points \(\text{M}(0),\ \text{M}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\)  et \(\text{M}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) .

4. a. Tracer, dans le repère \((\text{O}~;\vec{i},\vec{j})\)  la portion de la courbe \(\Gamma\)  pour  \(t\)  décrivant \(\left[0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right]\) . On prendra soin de faire figurer les vecteurs directeurs des tangentes considérées dans la question 3. 
    b. Compléter la courbe précédente à l'aide des symétries évoquées dans la question  1.

Remarque

Une telle courbe est appelée courbe de Lissajous.